Linear Algebra-马尔可夫矩阵和傅里叶级数-24

一、知识概要

本节介绍了马尔科夫矩阵与傅里叶级数，是对特征值以及之前大量知识的一次总结。学习重点在于理解相关概念的应用，内容侧重于整体框架的把握，并非十分深入细致。

二、马尔科夫矩阵的性质及其应用

2.1 马尔科夫矩阵的性质

先给出一个马尔科夫矩阵示例：

马尔科夫矩阵需满足两条性质：

(1) 每个元素均为非负数。

(2) 每列的元素和为 1。

马尔科夫矩阵具有一个重要性质：如果 A 是马尔可夫矩阵，则 A 的幂也是马尔科夫矩阵。

接下来讨论矩阵次幂运算的“稳态”概念。在上一节学习的微分方程稳态问题中，我们通过特征值和 0 的关系来判断稳态，而在矩阵幂次运算中，稳态的判断方式有所不同，这就涉及到特征值与特征向量。研究马尔科夫矩阵的特征值，会发现它具有以下性质：

(1) 是一个特征值。

(2) 其余特征值满足 。

证明性质(1)很简单，以给定矩阵为例，将代入可得：

该矩阵每一列元素之和为 0，是不可逆矩阵，三行相加得到零行，行/列向量线性相关，所以 1 是其特征值，存在对应特征向量。也可以说每列元素和为 1 的性质决定了其有特征值 1。性质(2)在课上未证明，但同样成立。

回到判断次幂运算的收敛性问题。回忆之前差分方程中的算式，这也属于矩阵次幂运算。

根据马尔科夫矩阵的特点，，其余，所以次幂运算最终会收敛于中的部分，这就是其稳态性质：在马尔科夫矩阵中，若其特征值 1 所对应的特征向量的元素全为正，且初始值是正的，那么稳态也是正值。

这里补充一个关于转置矩阵特征值的知识点：

由之前介绍的行列式性质十可知，转置矩阵与原矩阵行列式值相同，应用到这个方程上，可得：

也就是说，当时，也为 0，它们的特征值是一样的。但需要注意的是，虽然的特征值等于的特征值，然而它们的特征向量并不相同，因为它们不属于的同一个空间。

2.2 马尔科夫矩阵的应用

下面研究方程（其中，A 是马尔科夫矩阵）。

以研究加州和麻省的人口问题为例，假设 A 是一个 2×2 的矩阵，用来表示一年后人口的迁移情况。矩阵的四个元素分别表示留下和迁出的概率，且在这个过程中总人口数保持不变，同时要求马尔科夫矩阵不变（即每次变动的概率一样）。给定等式如下：

（中间的矩阵表示有 0.9 的比例的人口留在加州，0.1 从加州迁移到麻省，0.8 的人留在麻省，0.2 的人迁移到加州，这是一个马尔科夫矩阵）

下面分析其稳态：

假定初始状态为：

经过一次变迁之后，两州的人口状况是：

计算该马尔科夫矩阵特征值为 1 和 0.7，对应求得特征向量为， 。

现在来看经过无穷次迁移之后，人口状况的稳态情况。根据公式：

只有会反映最后稳态时的人口分布状况。代入初始情况计算的值：

最后得到的稳态结果就是，总数不变，分布由中的反映出来。

三、傅里叶级数

3.1 前提基础

假定有一组（n 个）标准正交向量，它们是 n 维空间的一组完整基。那么此空间中，任意向量可由这组基的线性组合表示：

矩阵化的表示方法是：

于是有：

由于 Q 是正交阵，之前介绍过，所以可以得到：

对应到各个分量：

这个结论也可以通过来计算。因为中的都是标准正交基，满足，在两侧同时乘上，同样能得到，其意义是通过向量与标准正交基的点乘，求得各分量。

3.2 傅里叶级数

设函数

这个问题与之前向量在标准正交基下的表示有相似之处，都是无穷维的情况，关键性质是函数正交。上述形式就是傅里叶级数，它作用在函数空间上，用函数来代替向量，使用正交函数来代替标准正交基 ，在这个函数中，基就是 。傅里叶级数成立的原因是这些基是正交的。

(1) 函数空间下的“正交”解释：

我们知道，对于向量的点积为：

向量可以看作是离散的，而上面给出的函数在其定义域上是连续的。对于两个连续函数而言，对比向量内积形式，与之最相似的情况是在每个值上的 ，在连续情况下对应的就是对其进行积分。由于函数是一个周期函数，周期为 ，所以这里积分上下限最好取从0到 。

定义好函数空间的内积之后，可以检验傅里叶级数中的基是正交的。

(2) 系数的求解问题：

以求解其中的为例，与之前讲过的向量求解类似，利用正交基，将函数与作内积，可得：

投影到这个基上，经过计算剩下，和向量形式一样，所以的值为：

其他系数的对应值以此类推。可见，函数也可以展开到一组标准正交基上。

三、学习感悟

这部分内容的学习重点在于理解。对于马尔科夫矩阵，关键是理解人口迁移模型的应用；而傅里叶级数实际上是将之前向量向标准正交基投影的形式，拓展到了函数向正交函数投影的展开形式。只要理解了正交函数的概念，相关问题就比较容易理解了。