线性代数-行列式介绍-18,19

Linear Algebra-行列式介绍-18,19

一、知识概览

此章节旨在为后续求解特征值做好铺垫，重点在于熟练掌握行列式的求解方法以及其相关性质。一旦掌握了行列式的一般求解流程，这部分内容的难度并不大。考虑到这部分主要侧重于技巧的运用，而非抽象的理解，所以在此将第 18、19 课中关于行列式的内容进行整合呈现。

二、行列式的特性

行列式是与每个方阵紧密相关的一个数值，它蕴含着矩阵的诸多重要性质。比如，我们可以依据行列式来判断方阵是否可逆：若行列式的值为 0，则该方阵不可逆。

行列式的表示方法

行列式记为 $|A|$。并且，我们已经知道：方阵可逆的充要条件是其对应的行列式值不为 0。

行列式的具体性质

1.单位矩阵的行列式：对于单位阵 $I$，有 $|I| = 1$。

2.行交换的影响：交换矩阵的两行后，行列式的值会变为原来的相反数。例如：

$$\left|\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right| = 1, \quad \left|\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right| = -1$$

3.行列式的线性性质：

• 若矩阵的某一行乘以一个系数 $t$，那么整个行列式的值也会乘以 $t$，即：

$$\left|\begin{array}{cc} t a & t b \\ c & d \end{array}\right| = t \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|$$

- 行列式在每一行上都具有线性性质，具体表现为：

$$\left|\begin{array}{cc} a + a' & b + b' \\ c & d \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc} a' & b' \\ c & d \end{array}\right|$$

这里需要特别注意的是，这并不意味着 $|A + B| = |A| + |B|$，行列式的线性运算仅作用于每一行，而非整个矩阵。我们可以通过二阶行列式来验证这一点。

4.两行相等的情况：如果矩阵中有两行元素完全相同，那么该行列式的值为 0。我们可以从线性相关的角度来理解这一性质，也可以利用性质 2 进行证明：交换相同的两行后行列式的值不变，但根据性质 2 交换两行后行列式符号相反，所以只有行列式值为 0 才能满足这一条件。

5.行消元的不变性：从矩阵的第 $k$ 行减去第 $l$ 行的 $i$ 倍，行列式的值不会发生改变。这就是我们在消元过程中常用的操作，下面以二阶行列式为例进行说明：

$$\left|\begin{array}{cc} a & b \\ c - i a & d - i b \end{array}\right| \underset{\text{性质3.2}}{\to} \left|\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc} a & b \\ -i a & -i b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + (-i) \left|\begin{array}{ll} a & b \\ a & b \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| + 0 = \left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right|$$

6.零行的行列式：如果矩阵中有某一行为零，那么该矩阵的行列式值为 0。这一性质可以通过在性质 3 中令 $t = 0$ 得到。

7.上三角矩阵的行列式：上三角矩阵的行列式值等于其主对角线上元素的乘积。我们可以通过消元的方法将上三角矩阵化为行最简形，然后提取公因子来证明这一结论：

$$\left|\begin{array}{cccc} d_{1} & * & * & * \\ 0 & d_{2} & * & * \\ 0 & 0 & \cdots & * \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{array}\right| \underset{\text{消元化为行最简}}{\to} \left|\begin{array}{cccc} d_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{n} \end{array}\right| = d_{1} d_{2} \cdots d_{n}$$

8.行列式与可逆性的关系：方阵 $A$ 的行列式 $|A|$ 不为零的充要条件是 $A$可逆。不可逆矩阵经过消元后会出现全零行，其行列式必为 0；而可逆矩阵经过消元后各列都有主元，行列式就是主元的乘积，所以行列式不为 0。

9.矩阵乘积的行列式：方阵乘积的行列式等于方阵行列式的乘积，即 $|AB| = |A||B|$。由此可以得出以下结论：

• 可逆矩阵的行列式与其逆矩阵的行列式互为倒数：$A A^{-1} = I \to |A| |A^{-1}| = 1$
• 矩阵平方的行列式等于矩阵行列式的平方：$|A^2| = (|A|)^2$。
• 对于常数 $k$ 和 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $|kA| = k^n |A|$（这是因为从每一行中都提出了一个 $k$）。

10.转置矩阵的行列式：矩阵转置后的行列式与原矩阵的行列式相等，即 $|A^T| = |A|$。我们可以通过将矩阵分解为 $LU$ 形式，利用性质 9 和三角矩阵行列式的性质来理解这一结论：

$$|U^T L^T| = |LU| \to |U^T| |L^T| = |U| |L|$$

由于 $L$ 是主对角线全为 1 的下三角矩阵，$U$ 是上三角矩阵，它们转置后的行列式仍然等于主对角线元素的乘积。

三、行列式公式

二阶行列式的计算

$$\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| = ad - bc$$

行列式的展开原理

行列式的展开过程实际上是对矩阵元素进行线性组合的过程。以二阶行列式为例：

$$\left|\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right| \underset{\text{第一行线性组合}}{\to} \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ c & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ c & d \end{array}\right|\underset{\text{第二行线性组合}}{\to} \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ c & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} a & 0 \\ 0 & d \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ c & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ll} 0 & b \\ 0 & d \end{array}\right|$$

根据行列式的性质，这些分解后的行列式中只有部分非零项会对最终结果产生贡献。通过计算可以得到：

$$0 + ad + (-bc) + 0 = ad - bc$$

三阶行列式的展开

对于三阶行列式，我们可以按照类似的方法进行展开：

$$\begin{aligned} \left|\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| & = \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & a_{22} & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} a_{11} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ 0 & a_{32} & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0& a_{12} & 0 \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{33} \end{array}\right| \\ & + \left|\begin{array}{ccc} 0 & a_{12} & 0 \\ 0 & 0 & a_{23} \\ a_{31} & 0 & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a_{13} \\ a_{21} & 0 & 0 \\ 0 & a_{32} & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & a_{13} \\ 0 & a_{22} & 0 \\ a_{31} & 0 & 0 \end{array}\right| \end{aligned}$$

观察可以发现，对于 $n$ 阶矩阵，展开后非零的拆分项一共有 $n!$ 种。以三阶矩阵为例，第一行有 3 种选择，第二行有 2 种选择，最后一行有 1 种选择，所以总共有 $3!$ 个非零矩阵相加的结果。

一般行列式公式

行列式的一般公式可以表示为：

$$|A| = \sum_{n!} \pm a_{1 \alpha} a_{2 \beta} a_{3 \gamma} \cdots a_{n \omega}$$

其中，$\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \omega$ 是列标集合 $\{1, 2, \ldots, n\}$ 的一种排列，每个列标符号都恰好出现一次。

行列式计算示例

计算行列式：

$$\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$$

根据行列式公式，我们需要找出所有非零项的排列组合。首先，$\alpha$ 只能为 3 或 4，因为其他位置的元素都为 0。所以，非零项的排列为 $(4, 3, 2, 1)$ 和 $(3, 2, 1, 4)$。将其写成行列式形式：

$$\left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{llll} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$$

将第一个行列式调整到标准的对角线位置，最少需要 2 次行交换，所以符号为 +1；第二个行列式至少需要 1 次行交换，符号为 -1。因此，该行列式的值为：

$$1 + (-1) = 0$$

四、代数余子式

代数余子式的定义

元素 $a_{ij}$ 位置对应的代数余子式 $C_{ij}$ 为：去掉原行列式中第 $i$ 行和第 $j$ 列后剩余元素组成的行列式值，再乘以 $(-1)^{i+j}$。即：

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} \times \text{剩余元素组成的行列式值}$$

代数余子式的符号规律如下：

$$\left|\begin{array}{llll} + & - & + & - & + \\ - & + & - & + & - \\ + & - & + & - & +\\- & + & - & + & - \\+ & - & + & - & + \end{array}\right|$$

行列式的展开

利用代数余子式，我们可以将 $n$ 阶行列式展开为 $n - 1$ 阶行列式的线性组合。例如，沿第一行展开的形式为：

$$|A| = a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + \cdots + a_{1n} C_{1n}$$

如果沿第 $i$ 行展开，只需将上式中的 1 换成 $i$ 即可。

特殊矩阵的行列式计算示例

考虑以下特殊矩阵：

$$A_{1} = 1, \quad A_{2} = \left|\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right|, \quad A_{3} = \left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right|, \quad A_{4} = \left|\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right|$$

我们可以通过计算前几阶的行列式值来寻找规律：

$$A_{1} = 1, \quad A_{2} = 0, \quad A_{3} = -1$$

使用代数余子式按第一行展开 $A_{4}$：

$$A_{4} = 1 \times \left|\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array}\right| + (-1) \times \left|\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right|$$

经过计算可以得到：

$$A_{4} = A_{3} - A_{2}$$

由此可以发现，该矩阵的行列式值存在递推规律：

$$A_{n} = A_{n-1} - A_{n-2}$$

因此，该结构的行列式值构成一个数列：$1, 0, -1, -1, 0, 1, \ldots$，呈现出以 6 为周期的循环规律。

五、学习体会

这两节内容主要围绕行列式的计算技巧展开。首先，我们学习了行列式的基本性质，这些性质为我们理解行列式的本质提供了重要依据。接着，我们了解了行列式的一般公式，通过这个公式我们可以更深入地理解行列式的构成。最后，我们重点学习了最常用的行列式计算方法—代数余子式展开。

在学习过程中，我们需要认识到行列式的计算虽然涉及较多的技巧，但只要我们熟练掌握各种方法，并通过大量的练习加以巩固，就能够准确、高效地计算行列式的值。同时，我们也要注意理解行列式的几何意义和代数意义，这将有助于我们更好地应用行列式解决实际问题。