Linear Algebra-求解 Ax=b:可解性与结构-08

可解的条件

仍以 $A=\begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10\\ \end{bmatrix}$ 为例，则方程为 $\begin{bmatrix} 1&2&2&2\\ 2&4&6&8\\ 3&6&8&10\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1\\ b_2\\ b_3\\ \end{bmatrix}$

矩阵 A 的第三行为第一行和第二行的加和，因此 $Ax=b$ 中的 b 要满足 $b_3=b_2+b_1$ ，否则方程无解。

检验 $Ax=b$ 是否可解的方法是增广矩阵进行行消元。如果矩阵 A 的行被完全消去的话，则对应的 b 的分量也得是 0。在本例中，矩阵 A 的第三行被消去：

$\begin{bmatrix} 1&2&2&2&b_1\\ 2&4&6&8&b_2\\ 3&6&8&10&{b_3}\\ \end{bmatrix}->...->\begin{bmatrix} 1&2&2&2&b_1\\ 0&0&2&4&b_2-b_1\\ 0&0&0&0&b_3-b_2-b_1\\ \end{bmatrix}$

如果 $Ax=b$ 有解，则 $b_3-b_2-b_1=0$ 。在本例中我们令 $b=\begin{bmatrix} 1\\ 5\\ 6\\ \end{bmatrix}$

前几讲讨论过，只有当 b 处于矩阵的列空间 C(A)之中时，方程才有解。本讲推导出矩阵A的行向量若经过线性组合成为了零向量，则对应的 b 经同样的线性组合后也要等于 0。

通解

为求得 $Ax=b$ 的所有解，我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解。将特解和矩阵零空间向量相加即为方程的通解。

特解

求 $Ax=b$ 特解的方法是将自由变量均赋值为 0，求其主变量。

本例中，令 $x_2=x_{4}=0$ 得到方程组：

$x_1+2x_3=1\\ 2x_3=3$

不难得到， $x_3=\frac{3}{2},x_1=-2$ ，因此特解为 $x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}$ 。

上一讲说了主元列和自由列的一个重要区别就是，自由列可以表示为主元列的线性组合，主元列之间是线性无关的。
$U=\begin{bmatrix}x&*&*&*&*&*&*&*\\ 0&0&y&*&*&*&*&*\\ 0&0&0&0&0&z&*&*\\ 0&0&0&0&0&0&0&u\\ \end{bmatrix}$
我们仍以消元完成后的梯形矩阵U为例，其包含四个主元列。对于_A_x=b 的求解转变为_U_x=c，其中 c 是向量 b 经过与左侧 A 矩阵相同的行操作得到的向量。显然，此时四个主元列的线性组合可以组成任何 $R^4$ 中的向量，我们将 x 中的自由变量赋值为 0 就可以去掉自由列列向量的干扰，求得方程的特解 $x_p$ 。如果消元得到的 U 最后 i 行为 0，如果方程要有解，c 的最后 i 个分量就要为 0，这时主元列才可以通过线性组合得到 c，否则方程无解。

与零空间进行线性组合

$Ax=b$ 的通解为 $x_{uni}=x_p+x_n$ ，其中 $x_n$ 为矩阵零空间中的向量，将 $Ax_p=b$ 和 $Ax_n=0$ 相加可得 $A(x_p+x_n)=b$ 。

上一讲我们知道，矩阵的零空间 $N(A)$ 就是其特解 $\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$ 的线性组合的集合，因此方程 $Ax=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}$ 的通解即为： $x_{uni}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+c_1\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}$ ，式中 $c_1$ 和 $c_2$ 为任意实数。

矩阵的零空间 N(A)是 $R^4$ 空间中的二维子空间，方程的解 $Ax=b$ 构成了穿过 $x_p$ 点并和 N(A)平行的“平面“。但该”平面“并不是 $R^4$ 空间的子空间(因为该平面不过零点，不满足数乘的条件)。

前面求取 $Ax=b$ 的特解过程中，我们令所有自由变量赋值为 0。如果不赋值为 0，则等于带着自由列进行计算，但自由列其实也就是主元列的线性组合，这样求的特解 $x_p'$ 只不过是 $x_p$ 与零空间特解的一个加和。

秩 Rank

矩阵的秩等于矩阵的主元数。如果 mxn 矩阵的秩为 r，则必有 r<=m 且 r<=n。

下面讨论一下满秩的情形：

列满秩：r=n。每列都有主元，x 的每一个分量都是主变量，没有自由变量。零空间 N(A)之内只有零向量。方程无解或者有唯一解 $x_p$ 。
行满秩：r=m。每行都有主元，无论 b 取何值，方程_A_x=b 都有解。主变量 r 个，自由变量 n-r 个。如 $A=\begin{bmatrix}1&0&*&*\\0&1&*&*\end{bmatrix}$ 的形式。
满秩 r=m=n，矩阵可逆。零空间只有零向量，无论 b 取何值，方程_A_x=b 都有唯一解。如单位矩阵。

总结如下：

r=m=n	r=n<m	r=m<n	r<n,r<m
有效方程数量等于未知数数量	有效方程数数量大于未知数数量	有效方程数数量小于未知数数量	It depends.
$R=$	$R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$	$R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}$	$R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}$
唯一解	无解或者唯一解	无穷多解	无解或无穷多解

当矩阵是m×n的矩阵，且矩阵的秩r既小于m又小于n时，对应的线性方程组的解的情况如下：

无穷多解：对于非齐次线性方程组Ax=b，当r(A)=r(A∣b)<n时，方程组有无穷多解。因为秩小于未知数个数n，意味着方程组中存在自由变量，自由变量可以取任意值，从而导致方程组有无穷多组解。

无解：对于非齐次线性方程组Ax=b，当 $r(A)\neq r(A|b)$ 时，方程组无解。此时增广矩阵(A∣b)经过初等行变换后，会出现形如[0 0 ⋯ 0 ∣ c]（ $c\neq 0$ ）的行，这表示方程组中存在矛盾方程，所以无解。
这种情况下，线性方程组不可能有唯一解。因为唯一解的充分必要条件是 $r(A)=r(A|b)=n$ ，而题目中给定秩r小于n，不满足唯一解的条件。