线性代数08-求解 Ax=b:可解性与结构
线性代数08：求解 Ax=b：可解性与结构
在上一篇文章中，我们讨论了矩阵零空间的概念，也就是所有满足 $Ax=0$ 的解的集合。今天我们继续深入，来回答一个更一般的问题：对于任意的 $Ax=b$，什么时候有解？如果有解，解的结构是什么样的？让我们一步步来揭开这个谜底。
可解的条件
我们还是沿用之前的例子来分析，这样更有连贯性。给定矩阵：
我们要求解的方程就是：
如果你仔细观察矩阵 $A$，会发现一个有趣的规律：矩阵 $A$ 的第三行正好是第一行和第二行的加和。这个性质对 $b$ 提出了一个要求——要想方程有解，必须满足 $b_3 = b_2 + b_1$，否则方程无解。这是为什么呢？
让我们通过增广矩阵的行消元来检验这个结论。对增广矩阵 $[A|b]$ 做行变换：
我们看到，消元后矩阵 $A$ 的第三行变成了全零行。如果方程要有解，那么对应的 $b$ 分量经过同样变换后也必须是 $0$，也就是要求：
不满足这个条件，方程就是矛盾的，自然无解。
在本文中，我们取一个满足条件的例子：
显然 $6 = 5+1$，符合要求，所以方程一定有解。
其实我们在前几讲已经知道了这个结论：只有当 $b$ 处于矩阵 $A$ 的列空间 $C(A)$ 之中时，方程才有解。今天我们从行的角度得到了另一个等价表述：如果矩阵 $A$ 的行向量经过某个线性组合得到了零向量，那么 $b$ 经过同样的线性组合后也必须等于 $0$。这两个角度说的其实是一回事。
通解的构造
明白了可解的条件后，接下来我们要找到方程的所有解。求解过程可以分为两步：
- 首先确认方程确实有解；
- 找到一个特解，再把特解和矩阵零空间的所有向量相加，就得到了通解。
这就是线性方程组解的基本结构。让我们一步步来看。
第一步：求特解
求 $Ax=b$ 特解最常用的方法是：将所有自由变量都赋值为 $0$，然后求解主变量。
为什么可以这么做？我们先看看例子，然后再解释原理。
回到我们的例子：$b = \begin{bmatrix}1\5\6\end{bmatrix}$，主元在第 $1$ 列和第 $3$ 列，因此自由变量是 $x_2$ 和 $x_4$。我们令 $x_2 = x_4 = 0$，得到方程组：
很容易解出 $x_3 = \frac{3}{2}$，代入第一个方程得 $x_1 = -2$。因此特解就是：
我们来验证一下：$A x_p = \begin{bmatrix}1\5\6\end{bmatrix} = b$，没错！
这里我们再回顾一下主元列和自由列的区别：自由列可以表示为主元列的线性组合，而主元列之间是线性无关的。这是为什么把自由变量设为 $0$ 能得到特解的关键。
我们用一个更一般的梯形矩阵 $U$ 来说明：
假设消元完成后得到 $Ux=c$，其中 $c$ 是 $b$ 经过同样行变换得到的向量。这里 $x,y,z,u$ 是四个主元，四个主元列的线性组合可以表示任何 $\mathbb{R}^4$ 中的向量。当我们把自由变量都赋值为 $0$ 时，自由列对应的项就消失了，只剩下主元列的组合，很容易就能解出主变量的值，得到特解 $x_p$。
如果消元后 $U$ 的最后 $i$ 行都是 $0$，那么方程要有解的条件就是 $c$ 的最后 $i$ 个分量也必须是 $0$。只有满足这个条件，主元列才能通过线性组合得到 $c$，否则就是矛盾方程，无解。
第二步：与零空间线性组合得到通解
现在我们已经找到了一个特解，如何得到所有解呢？
答案非常优雅：$Ax=b$ 的通解就是特解加上 $Ax=0$ 的所有解（也就是矩阵 $A$ 的零空间向量）。写成公式就是：
这里 $x_n$ 是矩阵 $A$ 零空间中的任意向量。
为什么这个公式成立？很简单，利用加法性质：
- $A x_p = b$（特解的定义）
- $A x_n = 0$（零空间向量的定义）
把两式相加：$A(x_p + x_n) = A x_p + A x_n = b + 0 = b$，所以 $x_p + x_n$ 也是方程的解。而且可以证明，方程的所有解都可以写成这种形式。
在我们的例子中，上一讲我们已经求出了矩阵 $A$ 的零空间 $N(A)$，它是两个基向量的线性组合：
其中 $c_1$ 和 $c_2$ 是任意实数。
因此，方程 $Ax=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}$ 的通解就是：
这个结果有一个很好的几何解释：矩阵 $A$ 的零空间 $N(A)$ 是 $\mathbb{R}^4$ 空间中的一个二维子空间（平面），而 $Ax=b$ 的所有解构成了一个穿过 $x_p$ 点，并且和零空间平行的平面。注意，这个平面不过原点，所以它不是 $\mathbb{R}^4$ 的子空间，只是一个仿射子空间。
你可能会问：为什么一定要把自由变量赋值为 $0$ 来求特解呢？赋值成别的数不行吗？其实特解不唯一，只要是方程的一个解就行。如果我们不给自由变量赋值为 $0$，比如赋值成其他常数，求得的特解 $x_p’$ 其实就是原来的 $x_p$ 加上一个零空间向量，仍然在这个仿射平面上，不影响最终的通解结构——因为零空间已经包含了所有可能的组合。
矩阵的秩与解的关系
现在我们从更一般的角度来总结一下，矩阵的秩如何决定方程组解的个数。
首先记住一个定义：矩阵的秩就是矩阵中主元的个数。对于一个 $m \times n$ 的矩阵，如果秩是 $r$，那么一定满足 $r \le m$ 且 $r \le n$。
我们分几种情况讨论满秩的情形：
列满秩：$r = n$。这种情况下，每一列都有主元，所以 $x$ 的每一个分量都是主变量，没有自由变量。相应地，零空间 $N(A)$ 中只有零向量。此时方程要么无解，要么只有唯一解 $x_p$。
行满秩：$r = m$。每一行都有主元，所以不管 $b$ 取什么值，方程 $Ax=b$ 都有解。主变量有 $r$ 个，自由变量有 $n-r$ 个，因此一定有无穷多解。行满秩化简后一般形式是 $R = \begin{bmatrix}I & F\end{bmatrix}$，其中 $I$ 是单位矩阵，$F$ 对应自由列的部分。
满秩方阵：$r = m = n$，这时候矩阵可逆。零空间只有零向量，所以对任意的 $b$，方程都有唯一解。我们最熟悉的可逆矩阵就是单位矩阵。
我们可以把所有情况整理成一张表格：
| 秩的情况 | 矩阵 $R$ 的形式 | 解的情况 | 说明 |
|---|---|---|---|
| $r = m = n$ | $R = I$ | 唯一解 | 有效方程数等于未知数个数 |
| $r = n < m$ | $R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}$ | 无解或唯一解 | 有效方程数大于未知数个数 |
| $r = m < n$ | $R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}$ | 无穷多解 | 有效方程数小于未知数个数，存在自由变量 |
| $r < m, r < n$ | $R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}$ | 无解或无穷多解 | 取决于 $b$ 是否满足可解条件 |
对于最一般的情况 $r < m$ 且 $r < n$，解的情况可以总结为：
- 无穷多解：当 $r(A) = r(A|b) < n$ 时，方程组有无穷多解。因为秩小于未知数个数 $n$，意味着存在自由变量，自由变量可以取任意值，因此方程组有无穷多组解。
- 无解：当 $r(A) \neq r(A|b)$ 时，方程组无解。此时增广矩阵 $(A|b)$ 经过初等行变换后，会出现形如 $[0\ 0\ \cdots\ 0 \mid c]$（$c \neq 0$）的行，这表示方程组存在矛盾方程，所以无解。
总而言之，矩阵的秩决定了方程组解的数量。这是线性方程组理论中一个非常核心的结论。
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