线性代数13-复习

Linear Algebra-复习-13

一、知识概要

本节为习题课，主要目的是回顾之前所学内容，帮助学习者掌握经典题型的解法，巩固线性代数的基础知识。

二、例题

【例 1】

设$u$，$v$，$w$是$R^{7}$空间内的非零向量，由它们生成了一个属于$R^{7}$的向量子空间，求此空间的维数。

答案：三个向量生成的空间，维数可能是 0、1、2、3。由于题设中向量为非零向量，所以维数不可能是 0，最终答案为 1、2、3。

解析：向量组生成的子空间维数等于向量组的极大线性无关组所含向量的个数。在本题中，三个非零向量可能线性相关，也可能线性无关。若三个向量线性相关，极大线性无关组可能含 1 个或 2 个向量，此时子空间维数为 1 或 2；若三个向量线性无关，极大线性无关组含 3 个向量，子空间维数为 3 。

【例 2】

有一个 $5×3$的阶梯形矩阵$U$，秩为3，求矩阵$U$ 的零空间。

答案：只有零向量。

复习概念：

1. 零空间：使得$Ax = 0$成立的所有解向量构成的空间。
2. 行阶梯矩阵：在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为 0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。例如：

$$\begin{bmatrix}∗ & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ \\0 & ∗ & ∗ & ∗ & ∗ \\0 & 0 & 0 & * & * \\0 & 0 & 0 & 0 & *\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$$

1. 行最简形矩阵：非零行的第一个非零元都为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0。例如：

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

1. 矩阵 A 右乘列向量的意义：矩阵$A$右乘列向量可以理解为对$A$各列向量的线性组合。

分析：由矩阵$U$的秩为 3 可知，其列向量线性无关。因为零空间是由满足$Ux = 0$的解向量构成，而列向量线性无关意味着不存在非零的线性组合能得到零向量，所以$U$的零空间中只有零向量。

【例 3】

给定 $10×3$矩阵$B$，$B$中含有矩阵$R$和$2R$，即$B=\begin{bmatrix}R\\2R\end{bmatrix}$（$R$是行最简形矩阵）。求该矩阵的秩以及其阶梯型矩阵。

答案：利用分块矩阵思想，$B$可化简为$\begin{bmatrix}R\\0\end{bmatrix}$，这就是$B$的阶梯型矩阵，它的秩即为矩阵$R$的秩。

进一步问题：矩阵$C=\begin{bmatrix}R & R\\R & 0\end{bmatrix}$的行最简形是什么？

解答：

$$\begin{bmatrix}R & R\\R & 0\end{bmatrix} \xrightarrow{行变化} \begin{bmatrix}R & R\\0 & -R\end{bmatrix} \xrightarrow{提出 (-1)} \begin{bmatrix}R & R\\0 & R\end{bmatrix} \xrightarrow{行变化} \begin{bmatrix}R & 0\\0 & R\end{bmatrix}$$

注意：严格意义上还应当将$\begin{bmatrix}R & 0\\0 & R\end{bmatrix}$中$R$的下面零行移到最简形$\begin{bmatrix}R & 0\\0 & R\end{bmatrix}$整体的最下面一行，这才是标准的行最简型矩阵。

再进一步问题：已知$R$的秩为 3，求$C$的转置矩阵的零空间的维数。

知识回顾：矩阵的零空间的维数等于列数减去矩阵的秩（$n-r$），列满秩的矩阵对应零空间的维数为 0。

解答：这里，$C$为 $10×6$的矩阵，则$C^{T}$为$6×10$的矩阵，$n-r=10-(3+3)=4$，所以其零空间的维数为 4。

【例 4】

已知$Ax=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}$，$x=\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$，求$A$的行向量的生成空间的相关信息。

分析：

1. 矩阵$A$的形状：由$Ax=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}$，因为是$A$（$m×n$）与$x$（$n×1$）相乘得到结果，所以$n = 3$，又因为结果是 $3×1$向量，所以$m = 3$，可知矩阵$A$的形状是$3×3$的。
2. 矩阵$A$的秩：已知零空间的维数为 2，根据$n-r=2$，且$A$的列数$n = 3$，可得$A$的秩$r = 1$ 。
3. 矩阵$A$的具体形式：由通解$x$的形式，先将$c = d = 0$代入$Ax = b$方程，即$A\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\4\\2\end{bmatrix}$，由此可推出$A$的第一行为$\begin{bmatrix}1 & 2 & 1\end{bmatrix}$。又因为$Ax = b$通解中包含了零空间$Ax = 0$的两个特解$\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$，将其代入方程$Ax = 0$就能解出$A$的形式，最终确定$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\2 & -2 & 0\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}$。

引申问题：既然$A=\begin{bmatrix}1 & -1 & 0\\2 & -2 & 0\\1 & -1 & 0\end{bmatrix}$，那么当$b$满足何种条件时，$Ax = b$有解？

分析：由之前几节的结论知道，当$b$属于矩阵的列空间时有解。对于$A$矩阵来说，其列向量线性相关，实际上只有一列对线性组合有贡献。

答案：$b$向量应当满足$b = c\begin{bmatrix}1\\2\\1\end{bmatrix}$（$c$为任意常数）。

【例 5】

如果一个方阵$A$的零空间只包含零向量，那它转置矩阵的零空间呢？

答案：也只包含零向量。

解析：根据矩阵的性质，方阵$A$与其转置矩阵$A^{T}$的秩相等。已知$A$的零空间只包含零向量，说明$A$满秩，那么$A^{T}$也满秩，所以$A^{T}$的零空间同样只包含零向量。

【例 6】

5 阶可逆方阵是否构成向量空间？

答案：否。因为向量空间必须包含零向量，而 5 阶可逆方阵中不包含零矩阵，所以肯定不是向量空间。

【例 7】

存在除零矩阵外的平方为零的矩阵吗？

答案：存在，例如$B=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}$ 。这个例子在后续学习中对于理解特殊矩阵的性质很重要。

【例 8】

方阵的列线性无关，$Ax = b$是否总是有解？

分析：因为矩阵列线性无关且为方阵，所以该方阵可逆。在之前学习消元矩阵时提到，可逆矩阵可以通过消元回代求解。所以此时$Ax = b$总是可解的。

【例 9】

研究矩阵$B$的零空间，已知$B$是 $3×4$矩阵，由一个可逆矩阵$\begin{bmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 0\\1 & 0 & 1\end{bmatrix}$左乘矩阵$\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 2\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ 得到。

解答：首先，$B$有四个列向量，所以$B$的零空间必是$R^{4}$的子空间。引入结论：假设有矩阵$C$，$D$，当$C$可逆的时候，$N(CD)=N(D)$（$N(A)$表示$A$的零空间），原因是可以对$CDx = 0$两侧同时乘上$C^{-1}$ 。回到本题，$B$零空间的求解只取决于矩阵$\begin{bmatrix}1 & 0 & -1 & 2\\0 & 1 & 1 & -1\\0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ ，通过计算，或者直接使用之前介绍过的结论（第 7 课），可得$B$零空间的基为$\begin{bmatrix}1\\ -1\\1\\0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\1\end{bmatrix}$。

进一步问题：求$Bx=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$的通解。

分析：先分析其特解，观察$B$的第一列，$B$的第一列恰好就是等式右侧的$b=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}$ 。在$Ax = b$中，如果$b$与$A$中一个列向量相同，则可以直接写出一个特解，即该列系数为 1，其余列系数为 0 的线性组合方式，所以这里的一个特解为$\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}$ 。而零空间的基之前已讨论得出，所以通解即可求出。

【例 10】

如果矩阵是方阵，是否意味着矩阵的行空间等于列空间？

答案：错误，反例：$B=\begin{bmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{bmatrix}$ 。该矩阵的行空间是由向量$(0, 1)$张成的空间，列空间是由向量$(1, 0)$张成的空间，二者不相等。

【例 11】

如果$A$与$B$的四个子空间相同，则$A$是$B$的倍数？

答案：错误，例如：任意的可逆矩阵的四个子空间都相同，但它们不一定成倍数关系。

【例 12】

给定矩阵$A$，交换其中的两行，哪些子空间没变？

答案：行空间与零空间。交换矩阵的两行，行向量组的线性相关性不变，所以行空间不变；同时，$Ax = 0$的解的情况也不变，所以零空间不变。

【例 13】

为什么向量$(1, 2, 3)$不能既是$A$的某一行，又在$A$零空间中？

分析：直接代入方程$Ax = 0$，若向量$(1, 2, 3)$是$A$的某一行，设$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ \cdot & \cdot & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot\end{bmatrix}$，则$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\ \cdot & \cdot & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times1 + 2\times2 + 3\times3\\ \cdot\\ \cdot\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}14\\ \cdot\\ \cdot\end{bmatrix}\neq\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$，等式不成立。

结论：给定矩阵，其行空间与零空间共享的向量只能是零向量（以后会提到：矩阵的零空间与行空间正交）。

三、学习感悟

这节复习课结束，意味着线性代数这一部分的基础内容告一段落。接下来的课程将围绕正交、特征值等概念展开讨论，这些内容将进一步深化对线性代数的理解和应用。