线性代数11-矩阵空间,秩1矩阵

Linear Algebra-矩阵空间,秩 1 矩阵-11

一、知识概要

上节末尾我们介绍了矩阵空间，它是一种延伸的向量空间。本节将从矩阵空间入手，探讨矩阵空间的维数、基等问题，揭示微分方程与线性代数之间的联系，并剖析秩为 1 的矩阵的特点。

二、矩阵空间

在上一节的基础上，我们将所有 3×3 的矩阵视为“向量空间”中的元素。在由所有 3×3 矩阵构成的集合中，矩阵之间的加法与数乘矩阵运算都是封闭的。因此，这个集合 M 可以被称作空间。

上节提到，M 有两个基本的子空间：

1. 对称矩阵 S：对称矩阵满足矩阵转置等于自身，即$A^T = A$。
2. 上三角矩阵 U：上三角矩阵主对角线以下的元素均为 0。

在这两个矩阵集合中，加法封闭与数乘封闭的性质很容易证明。例如，对于对称矩阵$A$和$B$，以及实数$k$，$(A + B)^T = A^T + B^T = A + B$，$(kA)^T = kA^T = kA$，这就证明了对称矩阵集合对加法和数乘封闭；上三角矩阵同理。

而 S 与 U 空间相交，得到另一个子空间：对角阵 D。对角阵既是对称矩阵，又是上三角矩阵，其主对角线以外的元素都为 0。

2.1 基与维数

1. M 的基与维数：M 的基与$R^9$的基类似。对于$R^9$，其标准基是 9 个单位向量，每个向量只有一个分量为 1，其余分量为 0。在 3×3 矩阵空间 M 中，其基可以表示为：

$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right], \cdots,\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$

由于 3×3 矩阵有 9 个元素，所以 M 的维数为 9。这就如同在$R^9$向量空间中，需要 9 个线性无关的向量才能构成基，从而确定空间的维数。

1. S 与 U 的基与维数：对称矩阵 S 的基有 6 个，如下：

$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$

上三角矩阵 U 的基也有 6 个：

$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$

所以 S 和 U 的维数都是 6。这里要强调的是，矩阵基与向量在形式上有所不同。向量的基通常是简单的数值向量，而矩阵基则是由矩阵构成，其元素的排列和性质与矩阵的运算规则紧密相关。

1. 对角阵 D 的基与维数：对角阵 D 的基很明显只有 3 个：

$$\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]$$

所以对角阵 D 的维数为 3，其基正好是 S 与 U 的交集。用数学符号表示为：$dim(S \cap U)=3$。

1. S + U 的维数：在向量空间中，两个子空间的并集通常不是向量空间，因为两个向量相加可能会超出这个并集的范围。而$S + U$这个集合，包含了 S 与 U 的线性组合，即任意对称阵加上任意上三角矩阵的和都在这个集合里。实际上，$S + U$这个集合就是 M。所以$S + U$的维数是 9。

联系上述所有维数，存在这样一个等式：

$$dim(S)+dim(U)=dim(S \cap U)+dim(S + U)$$

代入具体维数可得：$6 + 6 = 3 + 9$

2.2 微分方程

“空间”的概念应用广泛，线性空间中的元素不仅可以是向量、矩阵，还可以是方程的解。

以解微分方程$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0$为例，在实数范围内，该微分方程有两个特解：$y = \sin x$与$y = \cos x$。而它的所有解都是这两个特解的线性组合，即$y = c_1\cos x + c_2\sin x$。

这与零空间的概念类似，我们可以将这些解看作线性空间中的元素，称其为解空间。解空间中的元素满足线性运算封闭条件，即如果$y_1 = c_{11}\cos x + c_{12}\sin x$和$y_2 = c_{21}\cos x + c_{22}\sin x$是解空间中的两个解，那么$y_1 + y_2 = (c_{11} + c_{21})\cos x + (c_{12} + c_{22})\sin x$也是解，$ky_1 = kc_{11}\cos x + kc_{12}\sin x$（$k$为实数）同样是解。

从空间的角度来看，这个解空间的两个基就是$\cos x$与$\sin x$，它们的线性组合构成了解空间，所以解空间的维数为 2。

三、秩一矩阵

3.1 秩一矩阵的优点

1. 易于分解：对于矩阵$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10\end{array}\right]$，很明显它的秩为 1。因为第二行元素是第一行元素的 2 倍，满足秩一矩阵的特点，即每一行都是第一行的倍数。这类矩阵可以分解为一列乘一行的形式，$A=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 5 \\ 2 & 8 & 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 5\end{array}\right]$。一般地，秩一矩阵都可以写为$A = UV^T$的形式，其中$U$是列向量，$V^T$是行向量。
2. 可搭建其他矩阵：秩一矩阵还可以用来“搭建”其他矩阵。例如，秩为 4 的矩阵可以通过四个秩一矩阵搭建出来。这一过程类似于矩阵乘法中的“列乘行”形式，通过一列一行的组合搭出一个矩阵。假设要搭建一个秩为 4 的矩阵$B$，可以找到四个线性无关的秩一矩阵$A_1 = U_1V_1^T$，$A_2 = U_2V_2^T$，$A_3 = U_3V_3^T$，$A_4 = U_4V_4^T$，然后通过线性组合$B = k_1A_1 + k_2A_2 + k_3A_3 + k_4A_4$（$k_1,k_2,k_3,k_4$为非零实数）来构造。

3.2 空间角度解释同秩矩阵

从空间角度看，所有秩为 4 的矩阵构成的集合 M 不能称之为空间。原因主要有两点：

1. 不包含零向量：零矩阵的秩为 0，而不是 4，所以集合 M 中不包含零向量。在线性空间的定义中，零向量是必须存在的元素。
2. 对加法不封闭：根据矩阵秩的性质$R(A + B) \leq R(A) + R(B)$，两个秩为 4 的矩阵相加，结果的秩可能小于或等于 8，但不一定等于 4。例如，对于矩阵$A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$和$B=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right]$，$A + B$是零矩阵，秩为 0，这表明两个秩为 4 的矩阵相加，结果的秩可能发生变化，不满足对加法封闭的条件。所以所有秩为 4 的矩阵集合并不能构成空间。同理，秩为 1 的矩阵集合也不能构成空间。

3.3 子空间的转化

通过以下例子加深对子空间的理解：

在四维空间中，向量$v=\left[\begin{array}{l}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{array}\right]$都满足$v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$，设这样的向量构成的集合为 S。

首先判断 S 是否为子空间：

1. 加法封闭：设$v=\left[\begin{array}{l}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{array}\right]$，$w=\left[\begin{array}{l}w_1 \\ w_2 \\ w_3 \\ w_4\end{array}\right]$都属于 S，即$v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$，$w_1 + w_2 + w_3 + w_4 = 0$。那么$v + w=\left[\begin{array}{l}v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \\ v_3 + w_3 \\ v_4 + w_4\end{array}\right]$，且$(v_1 + w_1)+(v_2 + w_2)+(v_3 + w_3)+(v_4 + w_4)=(v_1 + v_2 + v_3 + v_4)+(w_1 + w_2 + w_3 + w_4)=0$，所以$v + w$也属于 S，满足加法封闭。
2. 数乘封闭：对于任意实数$k$，$kv=\left[\begin{array}{l}kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \\ kv_4\end{array}\right]$，且$kv_1 + kv_2 + kv_3 + kv_4 = k(v_1 + v_2 + v_3 + v_4)=0$，所以$kv$也属于 S，满足数乘封闭。
3. 包含零向量：当$v_1 = v_2 = v_3 = v_4 = 0$时，满足$v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$，即零向量属于 S。

综上，S 是一个子空间。

接下来求 S 的维数：

假设有一矩阵$A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$，由 S 中$v$的特殊性质，可得$Av=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4\end{array}\right]=v_1 + v_2 + v_3 + v_4 = 0$。

这样就通过 A 构造了一个$Ax = 0$的方程，将 S 空间转化为了 A 的零空间。此时问题转化为求此零空间的基和维数。

矩阵 A 的秩$r$为 1，列数$n = 4$。根据秩的定义，主元只有一个，自由变元有$n-r=4-1=3$个。

所以 S 的零空间是三维空间，其基为$Av = 0$的三个特解：

$$\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right]$$

最后回顾 A 的列空间与左零空间：

1. 列空间：$A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$，它的列空间的基就是$R^1$的基，其线性组合构成的空间就是$R^1$。所以 A 列空间即为$R^1$。
2. 左零空间：A 的左零空间是线性组合各行得到零向量的方式。对于$A=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1\end{array}\right]$，很显然它的左零空间只有零向量。

四、小世界图

这部分内容是为下一节“图与网络”做铺垫，主要介绍图与矩阵之间的关联。

给定一个包含五个节点和六条边的图，可以用一个 5×6 的矩阵来表示其中的所有信息，具体表示方法将在下节课详细讲解。

此外，“六度分割理论”大家可能有所耳闻，该理论指出任何两位素不相识的人之间，通过一定的联系方式，总能够产生必然联系或关系。在这个理论中，将人抽象成点，将联系抽象为图，这体现了图在描述关系网络方面的应用，也进一步说明了图与矩阵之间存在着某种潜在的联系，具体内容同样留到下节课探讨。

五、学习感悟

本节主要介绍了线性空间，包括矩阵空间、解空间等具体类型。秩一矩阵不仅将之前学习的矩阵乘法列乘行方式联系起来，而且其易于分解的特点使其在矩阵构造中具有重要作用。通过对这些内容的学习，我们对线性代数的知识体系有了更深入的理解，也为后续学习图与网络等相关内容奠定了基础。