线性代数10-四个基本子空间

Linear Algebra-四个基本子空间-10

一、知识概要

此前介绍过列空间、零空间，但对于一个矩阵而言，可挖掘的空间不止这些。本节介绍四个基本子空间，作为对空间概念的补充，方便后续讨论。

二、四个基本空间介绍

对于一个$m×n$矩阵$A$，以下四个基本空间是其基础：

1. 列空间 $C(A)$：由矩阵$A$的列向量线性组合构成的空间。$m×n$矩阵$A$的每个列向量有$m$个分量，属于$R^{m}$空间，所以列空间是$R^{m}$的子空间。
2. 零空间 $N(A)$：由$Ax = 0$的解构成的空间。由于$x$本质是对$A$列向量的线性组合，$A$有$n$个列向量，所以零空间是$R^{n}$的子空间 。
3. 行空间 $C(A^{T})$：矩阵$A$各行线性组合构成的子空间，也可理解为$A$转置的列空间，即$C(A^{T})$。$A$的每个行向量有$n$个分量，都在$R^{n}$中，所以$A$的行空间是$R^{n}$的子空间。
4. 左零空间 $N(A^{T})$：可以理解为$A^{T}$的零空间。$A^{T}$是一个$n×m$的矩阵，$A^{T}$有$m$个列向量，所以左零空间是$R^{m}$的子空间。

2.1 四个基本空间的维数与基

研究$m×n$的矩阵$A$，其四个子空间的基本性质如下：

1. 列空间：设矩阵$A$的秩为$r$，$A$有$r$个主列，这$r$个主列就是列空间$C(A)$一组基，一组基里有$r$个向量，所以列空间维数为$r$。
2. 零空间：当矩阵$A$秩为$r$时，自由列为$n-r$列。这$n-r$列决定了$x$中的$n-r$个自由变元，赋值后构成零空间的$n-r$个基向量，故零空间维数为$n-r$。

3. 行空间：$A$的行空间可化为$A^{T}$的列空间，也可直接对$A$的行向量进行变换，行空间的维数是秩数$r$。

   • 例：设$A=\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}$，对$A$进行变换得到$\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$（行最简形矩阵$R$，左上角是单位矩阵$I$，右上角是自由列$F$，下面是全零行）。$A$只有两行线性无关，秩为 $2$，$A$行向量的基就是$R$的前两行，维数为 $2$。行变换不改变$A$的行空间，将$A$化简为行最简型$R$后取前$r$（秩数）行向量，即为$A$行空间的基。

4. 左零空间：左零空间写成方程形式为$A^{T}y = 0$，两边同时转置得$y^{T}A = 0$ ，此时对于 A 矩阵而言，$y^{T}$左乘 A 得到零向量，因此我们称之为左零空间。$A^{T}$是$n×m$的矩阵，其零空间维数为$m-r$。

   • 寻找左零空间的基：设$A=\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}$，行变换后得到行最简矩阵$R=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}$，行变换过程可用消元矩阵$E$表示，即

$$EA=\begin{bmatrix}-1&2&0\\1&-1&0\\-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&1&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}=R$$

观察$R$下面一行为零行，抽出$E$第三行$\begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}-1&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3&1\\1&1&2&1\\1&2&3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0&0&0\end{bmatrix}=0$，得到左零空间的一组基$[-1,0,1]$，向量个数为$m-r=3-2=1$个。寻找左零矩阵的基，重点是找$A$行组合为零的系数，通过将$\begin{bmatrix}A&I\end{bmatrix}\xrightarrow{初等行变换}\begin{bmatrix}R&E\end{bmatrix}$，求得$E$矩阵，根据$R$中的零行找到$E$中的线性组合方式，得到左零空间的基。

2.2 四个基本空间图像

$m×n$矩阵对应的四个基本空间图像如下：

子空间	所属空间	维数
列空间 $C(A)$	$R^{m}$的子空间	$r$
行空间 $C(A^{T})$	$R^{n}$的子空间	$r$
零空间 $N(A)$	$R^{n}$的子空间	$n-r$
左零空间 $N(A^{T})$	$R^{m}$的子空间	$m-r$

三、矩阵空间

线性空间的元素不一定是实数组成的向量，所有 $3×3$的矩阵可当成一个“向量空间”中的向量，只要满足线性空间的八条规律，对线性运算封闭，就可将其当做线性空间中的元素。因为矩阵本身满足线性空间的八条运算律，所以可将所有的$3×3$矩阵看做一个线性空间。

其常见子空间有上三角矩阵、对称矩阵、对角矩阵，上三角矩阵与对称矩阵的交集为对角矩阵（$diag$）。例如，随意给出对角矩阵的一个基：$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&3&0\\0&0&0\end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&7\end{bmatrix}$。

四、学习感悟

本节主要是概念的渗透，介绍了四个基本空间，其中左零空间是新内容，即行向量的线性组合得到零向量，需要重点理解。2.2 中的表格在后续学习中会经常用到。此外，还引出了向量空间的概念，下节会详细介绍。