Linear Algebra-四个基本子空间-10

一、知识概要

在之前的学习中，我们已经认识了矩阵的列空间和零空间这两个重要概念。但其实对于一个矩阵来说，它所定义的空间远不止这两个。今天我们就来完整介绍线性代数中非常重要的四个基本子空间，把空间的概念梳理清楚，为后续更深入的讨论打好基础。

二、四个基本空间介绍

给你一个任意的 矩阵 ，围绕它一共会产生四个最基础的子空间，我们一个一个来看：

  1. 列空间 ：顾名思义，就是由矩阵 的所有列向量进行线性组合得到的空间。因为 矩阵 的每个列向量都有 个分量，所以列向量本身属于 ，因此列空间 是 的一个子空间。

  2. 零空间 ：零空间是由所有满足 的解 构成的空间。这里的 实际上就是对 的列向量进行线性组合的系数，而 一共有 个列向量，所以 本身是 维向量，因此零空间是 的一个子空间。

  3. 行空间 ：行空间就是由矩阵 的所有行向量进行线性组合得到的子空间。换个角度看， 的行就是 的列，所以行空间也可以理解为 转置的列空间，记作 。既然 的每个行向量有 个分量，都属于 ，所以行空间自然就是 的子空间了。

  4. 左零空间 ：左零空间其实就是 的零空间。因为 是一个 的矩阵，它有 个列向量，所以左零空间是 的一个子空间。

这个名字听起来有点奇怪，为什么叫”左零空间”呢？我们来看看它的方程形式：，如果我们对这个等式两边同时转置，就得到 。看到了吗？这里 是从左边乘矩阵 ，结果是零向量，所以我们给它起了这个特别的名字——左零空间。

让我们用一张图来直观感受一下四个基本子空间的位置关系：

2.1 四个基本空间的维数与基

现在我们知道四个基本空间在哪里了，接下来自然要问：每个空间的维数是多少？又该如何找到它们的一组基呢？

我们还是以 的矩阵 为例，假设它的秩是 ，我们一个一个来看：

  1. 列空间：我们知道矩阵 的秩为 ，意味着消元后会留下 个主列，这 个主列本身就是列空间 的一组基。因为基里有 个线性无关的向量，所以列空间的维数就是 。

  2. 零空间：当矩阵 的秩为 时，自由列的数量就是 。每一个自由列对应 中的一个自由变元，我们给每个自由变元依次赋值为1，其他自由变元赋值为0，就能得到 个线性无关的解向量，它们正好构成零空间的一组基。因此零空间的维数就是 。

  3. 行空间：既然行空间就是 的列空间，那我们自然会想到，可以把 转置一下，然后按照求列空间的方法来处理。不过其实不用这么麻烦，直接对 做行变换就可以得到答案，行空间的维数同样等于矩阵的秩 。

    我们来看一个具体的例子：设

    对 进行行变换化简，最终得到行最简形矩阵：

    可以看到， 只有两行线性无关，所以秩为 。一个很重要的结论是：行变换不会改变矩阵的行空间！原来矩阵 的行空间和行最简形 的行空间其实是同一个空间。所以当我们把 化简为行最简形 后，直接取前 个行向量，它们就是原矩阵行空间的一组基。在这个例子中， 的前两行就是行空间的基，维数是 ，正好等于秩 。

  4. 左零空间：左零空间满足 ，转置后就是我们刚才说的 。同样根据秩的关系， 是 的矩阵，它的秩还是 ，所以左零空间的维数就是 。

    那么具体怎么找左零空间的基呢？我们还是接着上面那个例子来说明：

    刚才我们已经对 做了行变换得到了行最简形 ，整个行变换过程可以用一个消元矩阵 来表示，也就是说：

    现在我们观察一下， 的最后一行是全零行，这说明什么呢？说明消元矩阵 的这一行，左乘矩阵 得到了零向量！我们把 的第三行抽出来：，验证一下：

    这不正好满足 吗！所以这个行向量 就是左零空间的一组基，向量个数正好是 个，完美符合我们对维数的预期。

    总结一下寻找左零空间基的方法：我们构造增广矩阵 ，然后对它做初等行变换，得到 ，其中 就是那个消元矩阵。接着我们看 中有多少个零行，每个零行就对应着 中的一个行向量，这些行向量正好构成左零空间的一组基。本质上，我们就是在寻找那些让 的行组合等于零的系数，而消元过程正好帮我们找到了这些系数。

2.2 四个基本空间图像

到这里，我们已经把四个基本子空间的性质都梳理完了，让我们用一个表格来总结一下，方便大家查阅记忆：

子空间 所属空间 维数
列空间 的子空间
行空间 的子空间
零空间 的子空间
左零空间 的子空间

从这个表格中我们能看到一个很有意思的对称性：行空间和列空间的维数都是秩 ，零空间和左零空间分别补满了整个空间的维数——，，非常工整。

三、矩阵空间

最后我们来拓展一下思路：线性空间的元素一定必须是传统意义上的向量吗？答案其实是否定的。只要一个集合对线性运算封闭，并且满足线性空间的八条公理，它就可以被看做一个线性空间。

比如说，所有的 矩阵，它们本身就满足线性空间的所有运算律——两个矩阵相加还是一个 矩阵，一个矩阵乘上一个数还是一个 矩阵，完全满足封闭性和八条公理。所以我们完全可以把所有的 矩阵全体看做一个线性空间，这个空间里的”向量”就是矩阵本身。这就是我们说的矩阵空间。

那么矩阵空间有没有常见的子空间呢？当然有：

  • 所有上三角矩阵构成一个子空间；
  • 所有对称矩阵也构成一个子空间；
  • 所有对角矩阵同样构成一个子空间。

而且，上三角矩阵空间和对称矩阵空间的交集，正好就是对角矩阵空间（我们记为 ）。那对角矩阵空间的维数是多少呢？对于3阶对角矩阵来说，只有对角线上三个位置可以放非零元素，所以维数就是3。我们也很容易写出它的一组基：

这三个对角矩阵线性无关，任何一个对角矩阵都可以用它们线性表示，完美满足基的定义。

其实矩阵空间这个概念，看似只是一个有趣的推广，实际上它在很多地方都有用——比如我们后面要讲的微分方程，某些微分方程的解空间实际上就是由函数构成的线性空间，思路和这里完全一样。线性代数的强大之处就在于此，它抽象出来的空间概念，可以应用到完全不同的问题上。

四、学习感悟

本节主要是概念的渗透，介绍了四个基本空间，其中左零空间是新内容，即行向量的线性组合得到零向量，需要重点理解。2.2 中的表格在后续学习中会经常用到。此外，还引出了向量空间的概念，下节会详细介绍。

从笔者的角度来看，四个基本子空间其实已经把一个矩阵的所有核心信息都概括了。行空间和零空间是定义域 上的一对互补子空间，列空间和左零空间是值域 上的一对互补子空间——这个结构其实非常对称，也非常优美。后续我们讲到正交、逆矩阵甚至SVD分解的时候，都会反复用到这四个基本子空间的性质，希望大家一定要把这个表格记熟。